Родился 25.08.31 г. в д. Колосовка Омской обл. В 1939 г. Ю.К. Агафонов поступил в Колосовскую среднюю школу, затем в 1945 г. был переведен в Горьковскую среднюю школу. Будучи школьником с 1947 г. был членом школьного ученого совета. После окончания школы (1949) Ю. К. Агафонов поступил на юридический факультет Томского государственного университета, а в августе 1949 г. был переведен по собственному желанию на геологический факультет Томского государственного университета по направлению «геофизика». Помимо этого в 1949 г. был слушателем областной двухгодичной партийной школы при Омском обкоме ВКП (б). Среди его учителей были: проф. Б. М. Тюлюпо, К.И. Могильницкая, Л. Г. Выдрин. В студенческие годы был физоргом, а затем комсоргом группы.
В 1954 г. Ю. К. Агафонов окончил Томский государственный университет, получив диплом по специальности «геофические методы разведки» с присвоением квалификации геолога-геофизика.
С 1954 г. Ю. К. Агафонов – инженер, начальник партии Обской геофизической экспедиции, Березовской консультативной группы развития электросвязи.
В 1958 г. командировался в Афганистан.
С 1959 г. – начальник партии, затем старший инженер Сартыньинской нефтеразведочной экспедиции Тюменского территориального геологического управления.
С 1964 г. начальник отдела, затем начальник управления «Главтюменьгеологии» (ныне – группа компаний «Сибирский аграрный центр»).
С 1990 г. Ю. К. Агафонов – начальник отдела Западно-Сибирского комитета по геологии и использованию недр концерна «Тюменьгеология», с 1994 г. главный физик Западно-Сибирского геологического центра, с 1995 г. – главный геофизик Комитета природных ресурсов по Тюменской области, с 2000 г. консультант ОАО «Хантымансийскгеофизика». С 2002 г. – на пенсии.
Первооткрыватель месторождения (1987, Бованенковское). Лауреат Государственной премии СССР (1984). Награжден орденом «Знак Почета», медалями СССР. Автор более 20 научных публикаций.